高斯积分的计算结果如下：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
$$

质能方程 $E=mc^2$ 是狭义相对论的核心结论之一。

黎曼积分的定义为 $\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$，其中 $\lambda$ 为区间分割的最大细度。

多元函数 $f(x,y,z)$ 的梯度为 $\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right)$，散度记为 $\nabla \cdot \vec{F}$。

$$
\iint_D e^{-x^2-y^2} dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R e^{-r^2} r dr = \pi(1-e^{-R^2})
$$

$$
\oint_L Pdx + Qdy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy
$$

$$
\begin{align}
\int \sin^2 x dx &= \int \frac{1-\cos 2x}{2} dx \
&= \frac{1}{2}\int dx – \frac{1}{2}\int \cos 2x dx \
&= \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C
\end{align}
$$

1